Faktorial: Konsep, Soal dan Pembahasan

Pernahkah kamu menemukan bilangan yang dinyatakan dalam bentuk 3!. Berapa ya nilainya? Termasuk konsep matematika yang mana digunakan untuk menentukan hasilnya? Mari cek penjelasan berikut agar kamu menemukannya.

Daftar Isi

Definisi

Faktorial didefinisikan sebagai banyaknya cara untuk membentuk suatu susunan objek secara berurutan dari jumlah n objek. Faktorial bilangan asli n merupakan perkalian semua bilangan asli yang nilainya kurang atau sama dengan n (≤ n). 

Bentuk Umum

Faktorial diberi notasi tanda seru (!). Jika n!, maka dibaca "n faktorial".

\begin{aligned} \mathrm{n!} &= {\mathrm{n\times(n-1)\times(n-2)\times(n-3)\times...\times2\times1}}\\ \end{aligned}

Di bawah ini merupakan faktorial 1 sampai dengan faktorial 10.

\begin{aligned} \mathrm{1!} &= {\mathrm 1}\\ \mathrm{2!} &= {\mathrm{2\times1=2}}\\ \mathrm{3!} &= {\mathrm{3\times2\times1=6}}\\ \mathrm{4!} &= {\mathrm{4\times3\times2\times1=24}}\\ \mathrm{5!} &= {\mathrm{5\times4\times3\times2\times1=120}}\\ \mathrm{6!} &= {\mathrm{6\times5\times4\times3\times2\times1=720}}\\ \mathrm{7!} &= {\mathrm{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040}}\\ \mathrm{8!} &= {\mathrm{8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=40320}}\\ \mathrm{9!} &= {\mathrm{9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=362880}}\\ \mathrm{10!}&={\mathrm{10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=3628800}}\\ \end{aligned}

Catatan: Hasil dari faktorial 0 adalah 1, 0! = 1. Hasil ini dapat diperoleh melalui pembuktiannya pada postingan artikel: Hasil 0 Faktorial dan Pembuktiannya

Konsep faktorial ini biasa digunakan untuk menentukan jumlah susunan yang dapat dibentuk dari kumpulan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Soal dan Pembahasan

Untuk memaksimalkan pemahaman mengenai faktorial, mari simak contoh soal dan pembahasan berikut ini.

Soal-1
Hitunglah hasil dari perkalian 2! dengan 5!

Pembahasan:

\begin{aligned} \mathrm{2!} &= {\mathrm{2\times1=2}}\\ \mathrm{5!} &= {\mathrm{5\times4\times3\times2\times1=120}}\\ \mathrm{2!\times5!} &= {\mathrm{2\times120}}\\ &= {\mathrm{240}}\\ \end{aligned}

Soal-2
Hitunglah nilai dari

\begin{aligned} \mathrm{\frac{12!}{2!(12-2)!}}\\ \end{aligned}

Pembahasan:
Persamaan faktorial di atas dapat kita lakukan modifikasi sehingga memiliki kesamaan antara pembilang dan penyebutnya.

\begin{aligned} \mathrm{\frac{12!}{2!(12-2)!}} &= \mathrm{\frac{12!}{2!10!}}\\ &= \mathrm{\frac{12\times11\times10!}{(2\times1)\times10!}}\\ &= \mathrm{\frac{12\times11}{2\times1}}\\ &= \mathrm{66}\\ \end{aligned} 

Soal-3
Tentukan nilai p yang memenuhi dari persamaan berikut ini.
\begin{aligned} \mathrm{\frac{p!}{(p-2)!}} &= \mathrm{6}\\ \end{aligned}

Pembahasan: 

Cara penyelesaian persamaan diatas sebagai berikut.

\begin{aligned} \mathrm{\frac{p!}{(p-2)!}} &= \mathrm{6}\\ \mathrm{\frac{p\times(p-1)\times(p-2)\times ...\times2\times1}{(p-2)\times...\times2\times1}} &= \mathrm{6}\\ \mathrm{p\times(p-1)} &= \mathrm{6}\\ \mathrm{p^2-p} &= \mathrm{6}\\ \mathrm{p^2-p-6} &= \mathrm{0}\\ \end{aligned}

Untuk mencari nilai p yang mungkin maka dapat kita cari faktor dari persamaan kuadrat tersebut.

\begin{aligned} \mathrm{p^2-p-6} &= \mathrm{0}\\ \mathrm{(p+2)(p-3)} &= \mathrm{0}\\ \end{aligned}

Terdapat dua nilai p yang memenuhi persamaan kuadrat diatas yaitu p = -2 atau p = 3. Namun demikian, faktorial tidak mungkin bernilai negatif sehingga kita harus memilih yang positif yaitu p = 3.

Demikian pembahasan singkat terkait materi faktorial. Jika ada pertanyaan, saran, ataupun koreksi boleh disampaikan pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.